Rozwiązywanie równań wielomianowych na maturze

Wprowadzenie

Równania wielomianowe to stały punkt na maturze, więc warto nauczyć się je rozwiązywać sprawnie i bez stresu. W tym wpisie pokażę Ci, jak krok po kroku radzić sobie z równaniami wymiernymi, czyli takimi, gdzie w liczniku i mianowniku występują wielomiany. Tego typu zadania pojawiają się niemal co roku, często jako pytania ABCD, za które możesz łatwo zdobyć cenny punkt. To raczej te prostsze przykłady, więc ich opanowanie może znacząco podnieść Twój wynik. Wystarczy znajomość podstawowych działań na ułamkach algebraicznych i równań wielomianowych – nic strasznego! Jeśli chcesz dobrze wypaść na maturze, koniecznie je przećwicz.

Kroki rozwiązywania równań wymiernych

Wyznacz dziedzinę: Znajdź wartości, które zerują mianownik i wyklucz je z dziedziny.
Rozwiąż równanie: Przyrównaj licznik do zera i rozwiąż otrzymane równanie.
Sprawdź rozwiązania: Upewnij się, że rozwiązania należą do dziedziny.

Co to jest dziedzina?

Dziedzina równania to zbiór wszystkich liczb rzeczywistych, dla których równanie ma sens. W przypadku równań wymiernych, dziedzina wyklucza wartości, które zerują mianownik, ponieważ dzielenie przez zero jest niedozwolone.

Jak rozwiązywać równania wymierne?

Rozwiązywanie równań wymiernych polega na usunięciu mianownika poprzez pomnożenie obu stron równania przez wspólny mianownik. Następnie otrzymujemy równanie wielomianowe, które rozwiązujemy standardowymi metodami, takimi jak grupowanie, wyłączanie wspólnego czynnika lub stosowanie wzorów kwadratowych.

Usuń mianownik: Pomnóż obie strony równania przez wspólny mianownik, aby pozbyć się ułamków.
Rozwiąż równanie wielomianowe: Powstałe równanie sprowadza się do postaci wielomianowej, którą rozwiązujemy, stosując odpowiednie metody (np. rozkład na czynniki lub wzory kwadratowe). Często okazuje się, że po samym przemnożeniu stronami nasze równanie jest w postaci iloczynowej. Dzięki temu wytarczy każdy nawias przyrównać do zera. Na podanych niżej przykładach omówimy sposób rozwiązywania takich zadań.

Zadanie (Matura 2024 CKE)

Rozważmy równanie:

\frac{x + 1}{(x + 2)(x - 3)} = 0

Krok 1: Wyznacz dziedzinę
Mianownik nie może być równy zero, więc: $(x + 2)(x - 3) \neq 0$ Stąd: $x \neq -2 \text{ oraz } x \neq 3$

Krok 2: Rozwiąż równanie
Przyrównaj licznik do zera: $x + 1 = 0$ Rozwiązanie: $x = -1$

Krok 3: Sprawdź rozwiązanie
Sprawdzamy, czy $x = -1$ należy do dziedziny. Ponieważ $-1 \neq -2 \text{ oraz } -1 \neq 3$ , rozwiązanie jest poprawne.

Odpowiedź: Równanie ma dokładnie jedno rozwiązanie: $-1$ .

Film instruktażowy

Zadanie 6

Rozważmy równanie:

\frac{x(x+5)(2-x)}{2x+4} = 0

Krok 1: Wyznacz dziedzinę
Mianownik nie może być równy zero, więc: $2x + 4 \neq 0$ Rozwiązujemy: $2x + 4 = 0 \Rightarrow x = -2$ Stąd dziedzina to wszystkie liczby rzeczywiste oprócz $x = -2$ .

Krok 2: Rozwiąż równanie
Przyrównaj licznik do zera: $x(x+5)(2-x) = 0$ Rozwiązujemy: $x = 0 \quad \text{lub} \quad x + 5 = 0 \quad \text{lub} \quad 2 - x = 0$ Stąd: $x = 0 \quad \text{lub} \quad x = -5 \quad \text{lub} \quad x = 2$

Krok 3: Sprawdź rozwiązania
Sprawdzamy, czy rozwiązania należą do dziedziny:

$x = 0$ należy do dziedziny.
$x = -5$ należy do dziedziny.
$x = 2$ należy do dziedziny.
$x = -2$ nie należy do dziedziny.

Odpowiedź: Równanie ma dokładnie trzy rozwiązania: $-5$ , $0$ oraz $2$ .

Poprawna odpowiedź: C. trzy rozwiązania: $-5$ , $0$ oraz $2$ .