Działania na potęgach

Wprowadzenie

Zadanie polegające na upraszczanie potęg i pierwiastków pojawiają się na wielu maturach. To zazwyczaj zadania zamknięte. Wymagają one podstawowych umiejętności działania na potęgach.

Matura próbna grudzień 2024
Matura poprawkowa sierpień 2024
Matura dodatkowa czerwiec 2024
Matura maj 2024
Matura próbna grudzień 2023
Matura poprawkowa sierpień 2023
Matura maj 2023

Jest to klasyczny przykład "pewniaka maturalnego" na maturze z matematyki. Warto nauczyć się rozwiązywać ten typ zadania. Schemat rozwiązania jest powtarzany i pozwala zdobyć pewne punkty na maturze.

Przypomnienie wiadomości

W tej sekcji przypomnimy podstawowe własności działania na pierwiastkach i potęgach. Warto zajrzeć do karty wzorów i sprawdzić jakie tam można znaleźć wzory w tym zakresie. Trójkąt prostokątny ABC

Korzystanie z tych wzorów przećwiczymy rozwiązując prawdziwe zadania maturalne.

Grudzień 2024 - Zadanie 2

W tym zadaniu musimy zapisać daną liczbę jako liczbę o podstawie 5. W tym celu będziemy kolejno zapisywać każde wyrażenie jako liczbę o podstawie 5 i wykonywać działania na nich. Zaczniemy od

\sqrt[5]{5}

. Zgodnie ze wzorem

\sqrt[m]{a}=a^{\frac{1}{m}}

zapisujemy, że

\sqrt[5]{5}=5^{\frac{1}{5}}

. Liczbę

\frac{1}{5}

przekształcamy ze znanej własności

\frac{1}{a}=a^{-1}

czyli

\frac{1}{5}=5^{-1}

. Teraz możemy zapisać wyrażenie w nawiasie jako liczbę o podstawie 5 :

\sqrt[5]{5} \cdot \frac{1}{5} =5^{\frac{1}{5}} \cdot 5^{-1} = 5^{\frac{1}{5} -1} = 5^{-\frac{4}{5}}

Skorzystaliśmy tutaj z własności

a^{m} \cdot a^{n}=a^{m+n}

. Kolejną własnością, jaką wykorzstamy jest

(a^{n})^{m}=a^{n \cdot m}

. Po przekształceniu nawiasu wykonujemy ostatnie przekształcenie

(5^{-\frac{4}{5}})^{-5} = 5^{-\frac{4}{5} \cdot -5}=5^{-4}

Otrzymując wynik zaznaczamy poprawną odpowiedź C.

Sierpień 2024 - Zadanie 2

Rozwiązanie zadania rozpoczniemy od uproszczenia wyrażęnia w nawiasie. Skorzystamy z dobrze znanych kwadratów, czyli

4=2^{2}

25=5^{2}

. Pozwala nam to zapisać

\frac{4}{25} = \frac{2^{2}}{5^{2}}=(\frac{2}{5})^{2}

Ostatnie przekształcenie wykonujemy korzystając z wcześniej użytej własności

(a^{n})^{m}=a^{n \cdot m}

((\frac{2}{5})^{2})^{-0,5} = (\frac{2}{5})^{2 \cdot (-0,5)} = (\frac{2}{5})^{-1}=\frac{5}{2}=2,5

Otrzymując wynik 2,5 zaznaczamy odpowiedź C.

Czerwiec 2024 - Zadanie 1

Rozwiązanie zadania rozpoczniemy od uproszczenia wyrażenia

( 2^{-1} \cdot 32^{\frac{3}{5}})

. Skorzystamy z własności potęgowania, aby uprościć obie części wyrażenia. Najpierw uprościmy

( 32^{\frac{3}{5}} )

. Wiemy, że

( 32 = 2^5 )

, więc możemy zapisać:

32^{\frac{3}{5}} = (2^5)^{\frac{3}{5}} = 2^{5 \cdot \frac{3}{5}} = 2^3 = 8

Teraz uprościmy

( 2^{-1} )

2^{-1} = \frac{1}{2}

Teraz pomnożymy obie uproszczone części:

2^{-1} \cdot 32^{\frac{3}{5}} = \frac{1}{2} \cdot 8 = 4

Otrzymujemy wynik 4, więc zaznaczamy odpowiedź D.

Sierpień 2023 - Zadanie 5

Tym razem będziemy działali na podstawie 3. Wiemy, że

81 = 9 \cdot 9 = 3^{2} \cdot 3^{2} = 3^{4}

. Zawsze zamieniamy liczby na najmniejszą podstawą którą możemy uzyskać, dlatego wybraliśmy 3. Dale przekształcamy ułamek zaczynając od mianownika

(-\frac{1}{9})^{-2}=(-\frac{1}{3^{2}})^{-2}=(-3^{-2})^{-2}=3^{(-2) \cdot (-2)}=3^{4}

Wykoszystaliśmy tutaj własność, że liczba ujemna podniesiona do kwadratu staje się liczbą dodatnią. Przekształcamy dalej nasze wyrażenie, wykorzystując to co otrzymaliśmy

\frac{3^{-1}}{(-\frac{1}{9})^{-2}} \cdot 81 = \frac{3^{-1}}{3^{4}} \cdot 3^{4} = 3^{-1-4}\cdot 3^{4}=3^{-5}\cdot 3^{4} =3^{-1}=\frac{1}{3}

Zaznaczamy poprawną odpowiedź A.