Pole prostokąta

ABCD

jest równe 90. Na bokach

AB

CD

wybrano – odpowiednio – punkty

P

R

, takie,

\frac{|AP|}{|PB|} = \frac{|CR|}{|RD|} = \frac{3}{2}

Pole czworokąta

APCR

jest równe:

ODPOWIEDŹ A: $36$

ODPOWIEDŹ B: $40$

ODPOWIEDŹ C: $54$

ODPOWIEDŹ D: $60$

Krok 1: Podział boków prostokąta

Stosunek podziału boków $AB$ i $CD$ wynosi $\frac{3}{2}$ . Oznacza to, że:

|AP| = \frac{3}{5}|AB| \quad \text{oraz} \quad |PB| = \frac{2}{5}|AB|

|CR| = \frac{3}{5}|CD| \quad \text{oraz} \quad |RD| = \frac{2}{5}|CD|

Krok 2: Obliczenie długości boków

Oznaczmy długość boku $AB$ jako $a$ , a długość boku $AD$ jako $b$ . Pole prostokąta wynosi:

a \cdot b = 90

Czworokąt $APCR$ jest trapezem, którego podstawy to $AP$ i $CR$ , a wysokość to $b$ . Pole trapezu obliczamy ze wzoru:

P = \frac{1}{2} \cdot (|AP| + |CR|) \cdot b

Podstawiamy wartości:

P = \frac{1}{2} \cdot \left(\frac{3}{5}a + \frac{3}{5}a\right) \cdot b = \frac{1}{2} \cdot \frac{6}{5}a \cdot b = \frac{3}{5}a \cdot b

Wiemy, że $a \cdot b = 90$ , więc:

P = \frac{3}{5} \cdot 90 = 54

Pole czworokąta $APCR$ jest równe $54$ (odpowiedź C).