Dany jest ciąg geometryczny (an)(a_n), określony dla n≥1n \geq 1. Wszystkie wyrazy tego ciągu są dodatnie i spełniony jest warunek:
a5a3=19\frac{a_5}{a_3} = \frac{1}{9}
Iloraz tego ciągu jest równy:

ODPOWIEDŹ A: 13\frac{1}{3}

ODPOWIEDŹ B: 13\frac{1}{\sqrt{3}}

ODPOWIEDŹ C: 33

ODPOWIEDŹ D: 3\sqrt{3}

Krok 1: Wyznaczenie zależności między wyrazami

W ciągu geometrycznym każdy wyraz jest iloczynem poprzedniego wyrazu i ilorazu qq. Mamy:

an=a1⋅qn−1a_n = a_1 \cdot q^{n-1}

Zatem:

a5=a1⋅q4a_5 = a_1 \cdot q^{4}
a3=a1⋅q2a_3 = a_1 \cdot q^{2}

Krok 2: Podstawienie do warunku

Z warunku zadania:

a5a3=19\frac{a_5}{a_3} = \frac{1}{9}

Podstawiamy wyrażenia na a5a_5 i a3a_3:

a1⋅q4a1⋅q2=19\frac{a_1 \cdot q^{4}}{a_1 \cdot q^{2}} = \frac{1}{9}

Upraszczamy:

q2=19q^{2} = \frac{1}{9}

Krok 3: Rozwiązanie równania

Rozwiązujemy równanie:

q2=19q^{2} = \frac{1}{9}

Ponieważ wszystkie wyrazy ciągu są dodatnie, iloraz qq również musi być dodatni. Zatem:

q=13q = \frac{1}{3}

Odpowiedź

Iloraz tego ciągu jest równy 13\frac{1}{3} (odpowiedź A).