Sinus kąta ostrego

\alpha

jest równy

\frac{4}{5}

. Wtedy:

ODPOWIEDŹ A: $\cos \alpha = \frac{5}{4}$

ODPOWIEDŹ B: $\cos \alpha = \frac{1}{5}$

ODPOWIEDŹ C: $\cos \alpha = \frac{9}{25}$

ODPOWIEDŹ D: $\cos \alpha = \frac{3}{5}$

Krok 1: Zastosowanie tożsamości trygonometrycznej

Z jedynki trygonometrycznej wiemy, że:

\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1

Podstawiamy $\sin \alpha = \frac{4}{5}$ :

\left(\frac{4}{5}\right)^2 + \cos^2 \alpha = 1

\frac{16}{25} + \cos^2 \alpha = 1

Krok 2: Obliczenie $\cos^2 \alpha$

Odejmujemy $\frac{16}{25}$ od obu stron:

\cos^2 \alpha = 1 - \frac{16}{25} = \frac{9}{25}

Ponieważ $\alpha$ jest kątem ostrym, $\cos \alpha$ jest dodatni (gdyby kąt mógłby być rozwartwy wtedy mieliśbyśmy również ujemne rozwiązanie):

\cos \alpha = \sqrt{\frac{9}{25}} = \frac{3}{5}

$\cos \alpha = \frac{3}{5}$ (odpowiedź D).