Dane są dwa okręgi: okrąg o środku w punkcie

O

i promieniu 5 oraz okrąg o środku w punkcie

P

i promieniu 3. Odcinek

OP

ma długość 16. Prosta

AB

jest styczna do tych okręgów w punktach

A

B

. Ponadto prosta

AB

przecina odcinek

OP

w punkcie

K

(zobacz rysunek). Wtedy:

ODPOWIEDŹ A: $|OK| = 6$

ODPOWIEDŹ B: $|OK| = 8$

ODPOWIEDŹ C: $|OK| = 10$

ODPOWIEDŹ D: $|OK| = 12$

Krok 1: Zastosowanie twierdzenia o stycznych

Prosta $AB$ jest styczna do obu okręgów, więc odległość od punktu $K$ do każdego z okręgów jest równa długości stycznej. Możemy użyć twierdzenia o stycznych, aby znaleźć długość $|OK|$ .

Krok 2: Obliczenie długości odcinka

Niech $|OK| = x$ . Wtedy $|PK| = 16 - x$ . Z twierdzenia o stycznych mamy:

\frac{x}{16 - x} = \frac{5}{3}

Rozwiązujemy równanie:

3x = 5(16 - x)

3x = 80 - 5x

8x = 80

x = 10

Odpowiedź

Długość odcinka $|OK|$ wynosi $10$ (odpowiedź C).