Na rysunku przedstawiony jest fragment wykresu funkcji liniowej

f

. Na wykresie tej funkcji leżą punkty

A = (0, 4)

B = (2, 2)

. Obrazem prostej

AB

w symetrii względem początku układu współrzędnych jest wykres funkcji

g

określonej wzorem

ODPOWIEDŹ A: $g(x) = x + 4$

ODPOWIEDŹ B: $g(x) = x - 4$

ODPOWIEDŹ C: $g(x) = -x - 4$

ODPOWIEDŹ D: $g(x) = -x + 4$

Krok 1: Wyznaczenie wzoru funkcji f

Funkcja $f$ jest liniowa i przechodzi przez punkty $A = (0, 4)$ i $B = (2, 2)$ . Jej wzór to:

f(x) = ax + b

Podstawiamy punkt $A$ :

4 = a \cdot 0 + b \implies b = 4

Podstawiamy punkt $B$ :

2 = a \cdot 2 + 4 \implies 2a = -2 \implies a = -1

f(x) = -x + 4

Krok 2: Symetria względem początku układu

Obrazem funkcji $f$ w symetrii względem początku układu jest funkcja $g(x) = -f(-x)$ :

g(x) = -(-(-x) + 4) = -(x + 4) = -x - 4

Sprawdźmy poprawność przekształcenia dla punktu $A$ :

A' = (0, -4)

g(0) = -0 - 4 = -4

Dla punktu $B$ :

B' = (-2, -2)

g(-2) = -(-2) - 4 = 2 - 4 = -2

Obrazem prostej $AB$ jest wykres funkcji $g(x) = -x - 4$ (odpowiedź C).