Krok 1: Uporządkowanie liczb

Aby znaleźć medianę, musimy uporządkować liczby w kolejności rosnącej. Mamy zestaw liczb: 4, 8, 21, $a$, 16, 25.

Najpierw uporządkujmy znane liczby: 4, 8, 16, 21, 25. Teraz musimy umieścić $a$ w odpowiednim miejscu, aby cały zestaw był uporządkowany.

Krok 2: Wyznaczenie mediany

Mediana dla sześciu liczb to średnia arytmetyczna trzeciej i czwartej liczby w uporządkowanym zestawie. Z treści zadania wiemy, że mediana wynosi 14.

Oznacza to, że:

Zatem:

Krok 3: Rozważenie możliwych wartości $a$

Musimy rozważyć różne możliwości wartości $a$, aby określić, która z nich spełnia warunek mediany.

Rozważmy różne przedziały dla $a$:

• Przypadek 1: $a \leq 4$
  Uporządkowany zestaw: $a$, 4, 8, 16, 21, 25.
  Trzecia i czwarta liczba: 8 i 16.
  Mediana: $\frac{8 + 16}{2} = 12$.
• Przypadek 2: $4 < a \leq 8$
  Uporządkowany zestaw: 4, $a$, 8, 16, 21, 25.
  Trzecia i czwarta liczba: 8 i 16.
  Mediana: $\frac{8 + 16}{2} = 12$.
• Przypadek 3: $8 < a \leq 16$
  Uporządkowany zestaw: 4, 8, $a$, 16, 21, 25.
  Trzecia i czwarta liczba: $a$ i 16.
  Mediana: $\frac{a + 16}{2} = 14$.
  Rozwiązanie: $a = 12$.
• Przypadek 4: $16 < a \leq 21$
  Uporządkowany zestaw: 4, 8, 16, $a$, 21, 25.
  Trzecia i czwarta liczba: 16 i $a$.
  Mediana: $\frac{16 + a}{2} = 14$.
  Rozwiązanie: $a = 12$ (ale $a > 16$, więc ten przypadek nie ma rozwiązania).
• Przypadek 5: $21 < a \leq 25$
  Uporządkowany zestaw: 4, 8, 16, 21, $a$, 25.
  Trzecia i czwarta liczba: 16 i 21.
  Mediana: $\frac{16 + 21}{2} = 18.5$.
• Przypadek 6: $a > 25$
  Uporządkowany zestaw: 4, 8, 16, 21, 25, $a$.
  Trzecia i czwarta liczba: 16 i 21.
  Mediana: $\frac{16 + 21}{2} = 18.5$.

Krok 4: Wnioski

Jedynym przypadkiem, w którym mediana wynosi 14, jest przypadek, gdy $8 < a \leq 16$. Wtedy:

Rozwiązując to równanie:

Odpowiedź

Wartość $a$ wynosi $12$ (odpowiedź B).