Dany jest ciąg

(a_n)

określony wzorem

a_n = \frac{5 - 2n}{6}

dla

n \geq 1

. Ciąg ten jest:

ODPOWIEDŹ A: arytmetyczny i jego różnica jest równa $r = -\frac{1}{3}$ .

ODPOWIEDŹ B: arytmetyczny i jego różnica jest równa $r = -2$ .

ODPOWIEDŹ C: geometryczny i jego iloraz jest równy $q = -\frac{1}{3}$ .

ODPOWIEDŹ D: geometryczny i jego iloraz jest równy $q = \frac{5}{6}$ .

Krok 1: Sprawdzenie, czy ciąg jest arytmetyczny

Ciąg jest arytmetyczny, jeśli różnica między kolejnymi wyrazami jest stała. Obliczmy różnicę $r = a_{n+1} - a_n$ :

a_n = \frac{5 - 2n}{6}

a_{n+1} = \frac{5 - 2(n+1)}{6} = \frac{5 - 2n - 2}{6} = \frac{3 - 2n}{6}

Różnica $r$ wynosi:

r = a_{n+1} - a_n = \frac{3 - 2n}{6} - \frac{5 - 2n}{6} = \frac{3 - 2n - 5 + 2n}{6} = \frac{-2}{6} = -\frac{1}{3}

Różnica $r$ jest stała i wynosi $-\frac{1}{3}$ , więc ciąg jest arytmetyczny.

Krok 2: Sprawdzenie, czy ciąg jest geometryczny

Ciąg jest geometryczny, jeśli iloraz między kolejnymi wyrazami jest stały. Obliczmy iloraz $q = \frac{a_{n+1}}{a_n}$ :

q = \frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{\frac{3 - 2n}{6}}{\frac{5 - 2n}{6}} = \frac{3 - 2n}{5 - 2n}

Iloraz $q$ nie jest stały (zależy od $n$ ), więc ciąg nie jest geometryczny.

Ciąg jest arytmetyczny, a jego różnica wynosi $r = -\frac{1}{3}$ (odpowiedź A).