Dany jest ciąg geometryczny

(a_n)

, określony dla

n \geq 1

, w którym

a_1 = \sqrt{2}

a_2 = 2\sqrt{2}

a_3 = 4\sqrt{2}

. Wzór na

n

-ty wyraz tego ciągu ma postać:

ODPOWIEDŹ A: $a_n = (\sqrt{2})^n$

ODPOWIEDŹ B: $a_n = \frac{2^n}{\sqrt{2}}$

ODPOWIEDŹ C: $a_n = \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^n$

ODPOWIEDŹ D: $a_n = \frac{(\sqrt{2})^{n}}{2}$

Krok 1: Wyznaczenie ilorazu ciągu geometrycznego

Iloraz $q$ ciągu geometrycznego obliczamy jako stosunek dwóch kolejnych wyrazów:

q = \frac{a_2}{a_1} = \frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = 2

Krok 2: Wzór na $n$ -ty wyraz ciągu geometrycznego

Wzór na $n$ -ty wyraz ciągu geometrycznego to:

a_n = a_1 \cdot q^{n-1}

Podstawiamy $a_1 = \sqrt{2}$ oraz $q = 2$ :

a_n = \sqrt{2} \cdot 2^{n-1}

Możemy to uprościć:

a_n = \sqrt{2} \cdot \frac{2^n}{2} = \frac{2^n}{\sqrt{2}}

Wzór na $n$ -ty wyraz ciągu to $a_n = \frac{2^n}{\sqrt{2}}$ (odpowiedź B).