Dany jest okrąg o środku

S

. Punkty

K

L

M

leżą na tym okręgu. Na łuku

KL

tego okręgu są oparte kąty

KSL

KML

(zobacz rysunek), których miary

\alpha

\beta

spełniają warunek

\alpha + \beta = 111^\circ

. Wynika stąd, że

ODPOWIEDŹ A: $\alpha = 74^\circ$

ODPOWIEDŹ B: $\alpha = 76^\circ$

ODPOWIEDŹ C: $\alpha = 70^\circ$

ODPOWIEDŹ D: $\alpha = 72^\circ$

Krok 1: Zastosowanie twierdzenia o kątach środkowych i wpisanych

Zgodnie z twierdzeniem o kącie środkowym i wpisanym opartym na tym samym łuku:

\alpha = 2\beta

Kąt środkowy $\alpha$ jest dwa razy większy od kąta wpisanego $\beta$ opartego na tym samym łuku.

Krok 2: Ułożenie i rozwiązanie układu równań

Mamy układ równań:

\begin{cases} \alpha + \beta = 111^\circ \\ \alpha = 2\beta \end{cases}

Podstawiamy drugie równanie do pierwszego:

2\beta + \beta = 111^\circ

3\beta = 111^\circ

\beta = 37^\circ

Obliczamy $\alpha$ :

\alpha = 2 \times 37^\circ = 74^\circ

Sprawdzamy otrzymany wynik:

74^\circ + 37^\circ = 111^\circ

Co zgadza się z warunkami zadania.

Wynika stąd, że $\alpha = 74^\circ$ (odpowiedź A).