W zestawie

\underbrace{2, 2, 2, \ldots, 2}_{m \text{ liczb}}, \underbrace{4, 4, 4, \ldots, 4}_{m \text{ liczb}}

jest

2m

liczb (

m \geq 1

), w tym

m

liczb

2

m

liczb

4

. Odchylenie standardowe tego zestawu liczb jest równe:

ODPOWIEDŹ A: $2$

ODPOWIEDŹ B: $1$

ODPOWIEDŹ C: $\frac{1}{\sqrt{2}}$

ODPOWIEDŹ D: $\sqrt{2}$

Krok 1: Obliczenie średniej arytmetycznej

Średnia arytmetyczna zestawu liczb jest dana wzorem:

\mu = \frac{\sum x_i}{n}

W naszym przypadku:

\mu = \frac{m \cdot 2 + m \cdot 4}{2m} = \frac{2m + 4m}{2m} = \frac{6m}{2m} = 3

Krok 2: Obliczenie wariancji

Wariancja jest średnią kwadratów odchyleń od średniej:

\sigma^2 = \frac{\sum (x_i - \mu)^2}{n}

Dla naszego zestawu:

\sigma^2 = \frac{m \cdot (2 - 3)^2 + m \cdot (4 - 3)^2}{2m} = \frac{m \cdot 1 + m \cdot 1}{2m} = \frac{2m}{2m} = 1

Odchylenie standardowe jest pierwiastkiem kwadratowym z wariancji:

\sigma = \sqrt{\sigma^2} = \sqrt{1} = 1

Odchylenie standardowe tego zestawu liczb jest równe $1$ (odpowiedź B).