Dane są dwa okręgi: okrąg o środku w punkcie

O

i promieniu

5

oraz okrąg o środku w punkcie

P

i promieniu

3

. Odcinek

OP

ma długość

16

. Prosta

AB

jest styczna do tych okręgów w punktach

A

B

. Ponadto prosta

AB

przecina odcinek

OP

w punkcie

K

(zobacz rysunek). Wtedy

ODPOWIEDŹ A: $|OK| = 6$

ODPOWIEDŹ B: $|OK| = 8$

ODPOWIEDŹ C: $|OK| = 10$

ODPOWIEDŹ D: $|OK| = 12$

Krok 1: Analiza geometryczna sytuacji

Mamy dwa okręgi:

Odcinek $OP$ ma długość $16$ . Prosta styczna $AB$ dotyka obu okręgów odpowiednio w punktach $A$ i $B$ .

Krok 2: Wykorzystanie podobieństwa trójkątów

Trójkąty $OAK$ i $PBK$ są podobne (oba są prostokątne i mają wspólny kąt przy wierzchołku $K$ ). Zatem:

\frac{|OK|}{|PK|} = \frac{|OA|}{|PB|} = \frac{5}{3}

Oznaczmy:

|OK| = x

|PK| = 16 - x

Korzystając z podobieństwa:

\frac{x}{16 - x} = \frac{5}{3}

3x = 5(16 - x)

3x = 80 - 5x

8x = 80

x = 10

Sprawdźmy, czy dla $|OK| = 10$ zachodzi podobieństwo:

\frac{10}{6} = \frac{5}{3}

Co jest prawdą.

Długość odcinka $|OK|$ wynosi $10$ (odpowiedź C).