Dla każdego kąta ostrego

\alpha

iloczyn

\frac{\cos\alpha}{1-\sin^2\alpha} \cdot \frac{1-\cos^2\alpha}{\sin\alpha}

jest równy:

ODPOWIEDŹ A: $\sin \alpha$

ODPOWIEDŹ B: $\tan \alpha$

ODPOWIEDŹ C: $\cos \alpha$

ODPOWIEDŹ D: $\sin^2\alpha$

Krok 1: Uproszczenie wyrażenia

Rozpoczynamy od uproszczenia wyrażenia:

\frac{\cos\alpha}{1-\sin^2\alpha} \cdot \frac{1-\cos^2\alpha}{\sin\alpha}

Wiemy, że $1 - \sin^2\alpha = \cos^2\alpha$ oraz $1 - \cos^2\alpha = \sin^2\alpha$ z jedynki trygonometrycznej. Podstawiamy te tożsamości:

\frac{\cos\alpha}{\cos^2\alpha} \cdot \frac{\sin^2\alpha}{\sin\alpha}

Krok 2: Dalsze uproszczenie

Upraszczamy ułamki (licznik z mianownikiem w pierwszym i drugim ułamku skracamy):

\frac{1}{\cos\alpha} \cdot \sin\alpha

Co daje:

\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} = \tan\alpha

Iloczyn jest równy $\tan \alpha$ (odpowiedź B).