Dla każdego kąta ostrego α\alpha wyrażenie sin⁡4α+sin⁡2α⋅cos⁡2α\sin^4 \alpha + \sin^2 \alpha \cdot \cos^2 \alpha jest równe:

ODPOWIEDŹ A: sin⁡2α\sin^2 \alpha

ODPOWIEDŹ B: sin⁡6α⋅cos⁡2α\sin^6 \alpha \cdot \cos^2 \alpha

ODPOWIEDŹ C: sin⁡4α+1\sin^4 \alpha + 1

ODPOWIEDŹ D: sin⁡2α⋅(sin⁡α+cos⁡α)⋅(sin⁡α−cos⁡α)\sin^2 \alpha \cdot (\sin \alpha + \cos \alpha) \cdot (\sin \alpha - \cos \alpha)

Krok 1: Rozłożenie wyrażenia na czynniki

Zauważamy, że wyrażenie sin⁡4α+sin⁡2α⋅cos⁡2α\sin^4 \alpha + \sin^2 \alpha \cdot \cos^2 \alpha można zapisać jako:

sin⁡2α(sin⁡2α+cos⁡2α)\sin^2 \alpha (\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha)

Krok 2: Zastosowanie jedynki trygonometrycznej

Wiemy, że sin⁡2α+cos⁡2α=1\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 (jedynka trygonometryczna). Podstawiamy to do wyrażenia:

sin⁡2α(sin⁡2α+cos⁡2α)=sin⁡2α⋅1=sin⁡2α\sin^2 \alpha (\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha) = \sin^2 \alpha \cdot 1 = \sin^2 \alpha

Intuicja

Kluczowe w tym zadaniu było rozpoznanie, że wyrażenie można uprościć poprzez wyciągnięcie sin⁡2α\sin^2 \alpha przed nawias i zastosowanie jedynki trygonometrycznej. Dzięki temu wyrażenie znacznie się upraszcza.

Odpowiedź

Dla każdego kąta ostrego α\alpha wyrażenie sin⁡4α+sin⁡2α⋅cos⁡2α\sin^4 \alpha + \sin^2 \alpha \cdot \cos^2 \alpha jest równe sin⁡2α\sin^2 \alpha (odpowiedź A).