W rombie o boku długości

6\sqrt{2}

kąt rozwarty ma miarę

150^\circ

. Iloczyn długości przekątnych tego rombu jest równy:

ODPOWIEDŹ A: $24$

ODPOWIEDŹ B: $72$

ODPOWIEDŹ C: $36$

ODPOWIEDŹ D: $36\sqrt{2}$

Krok 1: Wykorzystanie wzoru na pole rombu

Pole rombu można obliczyć na dwa sposoby:

\text{Pole} = a^2 \cdot \sin(\alpha)

\text{Pole} = \frac{d_1 \cdot d_2}{2}

Gdzie $a$ to długość boku, $\alpha$ to kąt pomiędzy bokami, a $d_1$ i $d_2$ to długości przekątnych.

Krok 2: Obliczenie pola rombu

Podstawiamy wartości do wzoru na pole:

\text{Pole} = (6\sqrt{2})^2 \cdot \sin(150^\circ)

Obliczamy:

(6\sqrt{2})^2 = 36 \cdot 2 = 72

\sin(150^\circ) = \frac{1}{2}

Zatem:

\text{Pole} = 72 \cdot \frac{1}{2} = 36

Z drugiego wzoru na pole rombu:

\text{Pole} = \frac{d_1 \cdot d_2}{2}

Podstawiamy wartość pola:

36 = \frac{d_1 \cdot d_2}{2}

Mnożymy obie strony przez 2:

d_1 \cdot d_2 = 72

Iloczyn długości przekątnych tego rombu jest równy $72$ (odpowiedź B).