Dany jest graniastosłup prawidłowy czworokątny, w którym krawędź podstawy ma długość 1515. Przekątna graniastosłupa jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem α\alpha takim, że cos⁡α=23\cos \alpha = \frac{\sqrt{2}}{3}. Długość przekątnej tego graniastosłupa jest równa:

ODPOWIEDŹ A: 15215\sqrt{2}

ODPOWIEDŹ B: 4545

ODPOWIEDŹ C: 525\sqrt{2}

ODPOWIEDŹ D: 1010

Krok 1: Obliczenie przekątnej podstawy

Podstawą graniastosłupa jest kwadrat o boku długości 1515. Przekątna podstawy dpd_p, korzystając ze wzoru na przekątną kwadratu d=a2d = a \sqrt{2} wynosi:

dp=152d_p = 15\sqrt{2}

Krok 2: Związek między przekątną graniastosłupa a przekątną podstawy

Przekątna graniastosłupa dgd_g, przekątna podstawy dpd_p i wysokość graniastosłupa hh tworzą trójkąt prostokątny. Kąt α\alpha jest kątem między przekątną graniastosłupa a przekątną podstawy. Zatem:

cos⁡α=dpdg\cos \alpha = \frac{d_p}{d_g}

Podstawiamy znane wartości:

23=152dg\frac{\sqrt{2}}{3} = \frac{15\sqrt{2}}{d_g}

Krok 3: Obliczenie długości przekątnej graniastosłupa

Rozwiązujemy równanie względem dgd_g:

dg=152⋅32=45d_g = \frac{15\sqrt{2} \cdot 3}{\sqrt{2}} = 45

Odpowiedź

Długość przekątnej tego graniastosłupa jest równa 4545 (odpowiedź B).