Liczba:

4 \log_4 2 + 2 \log_4 8

jest równa

ODPOWIEDŹ A: $6 \log_4 10$

ODPOWIEDŹ B: $16$

ODPOWIEDŹ C: $5$

ODPOWIEDŹ D: $6 \log_4 16$

Krok 1: Zastosowanie wzoru na logarytm potęgi

Wykorzystujemy wzór na logarytm potęgi:

k \log_a b = \log_a b^k

Stosujemy go do obu składników wyrażenia:

4 \log_4 2 = \log_4 2^4 = \log_4 16

2 \log_4 8 = \log_4 8^2 = \log_4 64

Krok 2: Dodawanie logarytmów

Wykorzystujemy wzór na dodawanie logarytmów o tej samej podstawie:

\log_a b + \log_a c = \log_a (b \cdot c)

Dodajemy oba logarytmy:

\log_4 16 + \log_4 64 = \log_4 (16 \cdot 64)

Obliczamy iloczyn w nawiasie:

16 \cdot 64 = 1024

\log_4 1024

Zgodnie z defincją logarytmu szukamy takiego $x$ , że po podniesieniu liczby $4$ do tej potęgi to otrzymamy $1024$

Dlatego:

4^x = 1024

Doprowadzamy teraz do tej samej podstawy. Widzimy, że lewą i prawą stronę można zapisać o podstawie 2:

(2^2)^x = 2^{10}

2^{2x} = 2^{10}

Jeśli podstawy logarytmu są równe to logarytmy są równe, gdy ich wykładniki są takie same.

2x = 10

x = 5

Wartość wyrażenia $4 \log_4 2 + 2 \log_4 8$ jest równa $5$ (odpowiedź C).