Wszystkie wyrazy nieskończonego ciągu geometrycznego

(a_n)

, określonego dla każdej liczby naturalnej

n \geq 1

, są dodatnie oraz

a_5 = 4a_3

. Wtedy iloraz tego ciągu jest równy:

ODPOWIEDŹ A: $q = 2$

ODPOWIEDŹ B: $q = \frac{1}{2}$

ODPOWIEDŹ C: $q = \sqrt{2}$

ODPOWIEDŹ D: $q = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Krok 1: Wzór na n-ty wyraz ciągu geometrycznego

N-ty wyraz ciągu geometrycznego wyraża się wzorem:

a_n = a_1 \cdot q^{n-1}

Gdzie:

Krok 2: Zapisanie równania $a_5 = 4a_3$

Korzystając ze wzoru na n-ty wyraz, zapisujemy:

a_5 = a_1 \cdot q^{4}

a_3 = a_1 \cdot q^{2}

Z warunku $a_5 = 4a_3$ otrzymujemy:

a_1 \cdot q^{4} = 4 \cdot a_1 \cdot q^{2}

Dzielimy obie strony równania przez $a_1 \cdot q^{2}$ (ponieważ $a_1 \neq 0$ i $q \neq 0$ ):

q^{2} = 4

Rozwiązujemy równanie:

q^{2} = 4

Stąd:

q = 2 \quad \text{lub} \quad q = -2

Ponieważ wszystkie wyrazy ciągu są dodatnie, iloraz $q$ musi być dodatni. Zatem:

q = 2

Iloraz ciągu jest równy $2$ (odpowiedź A).