Równanie:
x+1(x+2)(x−3)=0\frac{x+1}{(x+2)(x-3)} = 0
w zbiorze liczb rzeczywistych.

ODPOWIEDŹ A: nie ma rozwiązania

ODPOWIEDŹ B: ma dokładnie jedno rozwiązanie: −1-1

ODPOWIEDŹ C: ma dokładnie dwa rozwiązania: −2-2 oraz 33

ODPOWIEDŹ D: ma dokładnie trzy rozwiązania: −1-1, −2-2 oraz 33

Krok 1: Wyznaczenie dziedziny

Dziedzina równania to zbiór liczb rzeczywistych, dla których mianownik nie jest równy zero. Mianownik równania to:

(x+2)(x−3)(x + 2)(x - 3)

Mianownik jest różny od zera, gdy:

x+2≠0orazx−3≠0x + 2 \neq 0 \quad \text{oraz} \quad x - 3 \neq 0

Rozwiązujemy nierówności:

x≠−2orazx≠3x \neq -2 \quad \text{oraz} \quad x \neq 3

Zatem dziedzina równania to:

R∖{−2,3}\mathbb{R} \setminus \{-2, 3\}

Krok 2: Mnożenie przez mianownik

Aby rozwiązać równanie, mnożymy obie strony przez mianownik:

x+1(x+2)(x−3)⋅(x+2)(x−3)=0⋅(x+2)(x−3)\frac{x+1}{(x+2)(x-3)} \cdot (x+2)(x-3) = 0 \cdot (x+2)(x-3)

Po uproszczeniu otrzymujemy:

x+1=0x + 1 = 0

Krok 3: Rozwiązanie równania

Rozwiązujemy równanie:

x+1=0x + 1 = 0

Otrzymujemy:

x=−1x = -1

Krok 4: Sprawdzenie rozwiązania w dziedzinie

Sprawdzamy, czy rozwiązanie x=−1x = -1 należy do dziedziny:

−1≠−2oraz−1≠3-1 \neq -2 \quad \text{oraz} \quad -1 \neq 3

Zatem x=−1x = -1 jest poprawnym rozwiązaniem.

Odpowiedź

Równanie ma dokładnie jedno rozwiązanie: −1-1 (odpowiedź B).