Ciąg

(b_n)

jest określony wzorem

b_n = 3n^2 - 25n

dla każdej liczby naturalnej

n \geq 1

. Liczba niedodatnich wyrazów ciągu

(b_n)

jest równa:

ODPOWIEDŹ A: $14$

ODPOWIEDŹ B: $13$

ODPOWIEDŹ C: $9$

ODPOWIEDŹ D: $8$

Krok 1: Znalezienie miejsc zerowych

Rozwiązujemy nierówność $b_n \leq 0$ :

3n^2 - 25n \leq 0

Znajdujemy pierwiastki równania kwadratowego:

3n^2 - 25n = 0

n(3n - 25) = 0

n = 0 \quad \text{lub} \quad n = \frac{25}{3} \approx 8.\overline{3}

Krok 2: Analiza nierówności kwadratowej

Ponieważ współczynnik przy $n^2$ jest dodatni, parabola jest skierowana ramionami w górę. Zatem:

b_n \leq 0 \quad \text{dla} \quad n \in \left[0, \frac{25}{3}\right]

Uwzględniając, że $n$ jest liczbą naturalną $\geq 1$ :

n \in \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8\}

Sprawdzamy wartość dla $n = 8$ :

b_8 = 3 \cdot 8^2 - 25 \cdot 8 = 192 - 200 = -8 \leq 0

oraz dla $n = 9$ :

b_9 = 3 \cdot 9^2 - 25 \cdot 9 = 243 - 225 = 18 > 0

Niedodatnie wyrazy ciągu to:

b_1, b_2, b_3, b_4, b_5, b_6, b_7, b_8

Liczba niedodatnich wyrazów ciągu wynosi $8$ (odpowiedź D).