W każdym

n

-kącie wypukłym (

n \geq 3

) liczba przekątnych jest równa

\frac{n(n-3)}{2}

. Wielokątem wypukłym, w którym liczba przekątnych jest o 25 większa od liczby boków, jest:

ODPOWIEDŹ A: siedmiokąt

ODPOWIEDŹ B: dziesięciokąt

ODPOWIEDŹ C: dwunastokąt

ODPOWIEDŹ D: piętnastokąt

Krok 1: Ustalenie równania

Zgodnie z treścią zadania, liczba przekątnych jest o 25 większa od liczby boków:

\frac{n(n-3)}{2} = n + 25

Krok 2: Rozwiązanie równania

Mnożymy obie strony przez 2, aby pozbyć się ułamka:

n(n - 3) = 2n + 50

Rozwijamy i porządkujemy równanie:

n^2 - 3n = 2n + 50

n^2 - 5n - 50 = 0

Rozwiązujemy równanie kwadratowe:

n = \frac{5 \pm \sqrt{25 + 200}}{2} = \frac{5 \pm \sqrt{225}}{2} = \frac{5 \pm 15}{2}

Ponieważ $n \geq 3$ , wybieramy dodatnie rozwiązanie:

n = \frac{5 + 15}{2} = 10

Wielokątem wypukłym, w którym liczba przekątnych jest o 25 większa od liczby boków, jest dziesięciokąt (odpowiedź B).